摘 要:中国和古希腊在数学发展的过程中都取得了辉煌的成就,但中国和古希腊的数学存在着比较大的差异。造成这一差异的主要原因是两国自然地理环境、政治制度及社会文化上的差别,以及由此而形成的价值观和思维方式上的差异。从以上这些方面分析,中国古代数学的衰落是历史的必然。
关键词:中国和古希腊 数学发展史 对比分析 差异 反思
中图分类号:O17文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)10(c)-0164-02
在数学发展史的长河中,中国和古希腊这两个文明古国都取得了超乎当时其他文明古国之上的成就,并分别成为了当时的世界数学的研究中心。在中国到纪元前后形成了《九章算术》为代表的初等数学体系,取得了辉煌的成就;与此同时,以《原本》为代表的西方数学体系已经形成,古希腊的数学方兴未艾,也取得了许多领先于世界的成果。本文将对古希腊与中国古代数学的发展进行对比分析,以寻求形成差异的原因,并对此进行反思。
1 古希腊和中国数学发展之比较分析
从古希腊和中国古代数学发展史中,我们可以看到,虽然古希腊和中国古代数学都取得了许多辉煌的成就,但它们所走过的道路却有着很大的差异。由于《原本》和《九章算术》在数学发展上具有十分重要的历史意义,下面将主要以这两本传世名著为素材进行分析比较,以期窥一斑而见全豹。
欧几里得的《原本》,是将古希腊雅典时期的许多数学发现用演绎法加以整理,从几个简明的定义、公理、公设出发,撰写而成,从而初步奠定了严格的演绎推理的基础。
《九章算术》是我国古代数学最重要的经典著作。它总结了我国先秦到西汉的数学成果,初步形成了以问题为中心的算法体系。
从内容上看,《原本》共有13卷,主要讨论的是几何问题,另外还有数论问题、“不可公度量”的理论等,可以说包括了当时希腊数学各个方面的成就。而《九章算术》的内容包括算术、代数、几何以及某些数论知识,其中水平最高的是算术和代数,但在几何方面有关面积、体积等度量性问题上的水平也不低,特别是有些复杂的体积计算法是《原本》中所没有的,如一些楔形体体积的计算。
从结构体系上看,《原本》的主导思想是通过逻辑推理把整个内容贯穿起来,基本上形成一个今天看来是不很严格的逻辑演绎体系。《九章算术》的结构与《原本》不同,它包括246问202术,并按问题的性质和解法分为九大类。每一大类为一卷;每卷又分为几小类,每一小类都有一般解题步骤。每道题都给出答案,大部分没有具体的计算过程,但都可以套用解题步骤求得解答。《九章算术》的这种体系结构是中国古代数学理论体系的典型代表,即“以解题为中心,在解题中给出算法,根据算法组建理论体系”。①
《九章算术》和《原本》在结构体系上还有一个重要的差别,这就是《原本》形成了一个构造性的理论体系,而前者则没有。如果我们颠倒《九章算术》各章的顺序,对整本书的体系是没有什么影响的。而对于《原本》的结构特点,用明末徐光启的话说,就是“此书有四不可得,欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后置之不可得。”②《原本》中首先列举了5条公理和5条公设,它们互相独立且互不矛盾,全书中的所有命题都是从这些公理和公设推出的,而且前面的命题又成为后面命题的推理依据。《原本》的重要意义就在于确立了一种建立科学理论的模式,直到今天仍然显示出强大的威力。
再从数学方法上进行比较,两者也有明显的区别。《九章算术》是用代数的方法去处理几何问题,“几何代数化”的特点十分明显。而《原本》中,则体现了代数几何化的特点。《九章算术》着重应用与计算,其中心是问题求解,方法是把问题分门别类,从而找出相应的解题模式,其思维方式是构造性的和机械化的;而《原本》着重概念与推理,其思维方式往往偏重于存在唯一以及概念之间相互关系等非构造性的逻辑思维。
从以上的比较中,我们可以发现古希腊和中国古代数学发展中存在着一些共性和差异。一般而言,从各自整体发展历史来看,古希腊数学表现出明显的演绎倾向,而中国古代数学则表现出明显的算法倾向。但与古希腊数学唯一接受演绎的逻辑推理不同,中国古代数学的推理方式是丰富多样的。虽然中国古代数学表现出明显的算法倾向,但并不能因此而认为中国古代数学就不存在演绎的逻辑推理,只是没有能系统化,而且,除了逻辑推理外,在中国古代数学中,更多见到的是通过直观、类比、观察、归纳等非逻辑的推理方式。造成这些差异的根源主要有这几方面的原因:
一是中西方文化传统上的差异。
中国传统文化注重“经世致用”,其思维方式的一个重要特征就是实用性,在审美倾向上具有“重实际而轻玄想”的务实精神。受这种文化传统影响,中国古代数学自然注重数学知识的应用,以实际为研究对象并以服务于实际为目的。因而,数学结论是在实践中通过观察、实验后分析归纳出的结果,这样就很难超越直观经验和具体运算而发展为演绎推理。
而古希腊文化的一大特征是崇尚理性——在数学方面就是崇尚演绎推理,将数学和哲学紧密联系再一起。古希腊人十分崇尚美,对美有着执着的偏爱。因而,在古希腊人看来,数学是一门艺术——一门寻求美的艺术。正是由于古希腊的文化传统孕育了古希腊数学的纯粹的理性思维特征,轻视实用而强调数学在人类精神活动方面的作用。
二是中西方价值取向上的差异。
从秦王朝灭掉六国,建立了中国第一个中央集权的独裁帝国,到汉初董仲舒提出“罢黜百家,独尊儒术”,将儒家学说作为立国之本,中国古代便形成了儒家学说占统治地位的思想和价值体系。这一体系向人们灌输的是“中庸”的思想,是“唯有读书高”的功利主义。在这样一种文化的影响下,中国古代数学便形成了自己独特的价值取向,即数学不再具有解释“形而上”的问题的功能,它只对“形而下”的问题作出数量上的解释,数学也就成为了一种技艺。因此,在中国传统文化中,数学的价值观是实用技艺而非理性思辩。
与中国古代中央集权制不同,古希腊的政体为城邦制,使得民主政体得以发展。这种较为宽松的社会条件,形成了古希腊崇尚理性的特定的文化氛围。在此基础上,古希腊的数学从开始就走上了充分发挥神秘性功能的道路,形成了用数学及数学理性解释一切的价值取向。这就使古希腊数学表现出注重逻辑演绎推理和理性思辩等特点。
三是中西方思维方式上的差异。
中国的传统思维方式具有宏观的有机统一的特点,其本质是把宇宙看作是一个有机的整体,人是其中的一个组成部分,主张“天人合一”。这种思维方式注重宏观定性的模糊把握,轻视微观定量的精确揭示。反映到中国古代数学中,表现在思维方式上的一个重要特点就是实用性,具体表现为思维的直观性和非思辩性。中国古代的数学注重应用,注重算法的程序化和技巧性,只把数学当作一种计算工具,而没有把数学作为一种思维训练的工具。
西方的传统思维方式则与中国不同。古希腊人的思维取向之一便是以求知为目的的纯粹思辩,表现在数学上就形成了一种逻辑演绎的抽象的公理化的理论体系。
2 对古希腊和中国古代数学发展的反思
古希腊和中国古代数学都经历了从辉煌到衰落的过程。如果说古希腊数学的衰落更多的是由于外部因素作用的话,那么,中国古代数学的衰落则更值得我们深思。近代数学上的几乎所有的重要发现都与中国人无缘,这一严酷的现实值得我们好好反思,究竟是什么原因造成了中国古代数学的衰落。
首先需要反思的是为什么中国古代数学未能走上理性数学、抽象数学之路。中国古代数学并非没有孕育出理性思辩和逻辑推理的萌芽,春秋战国这一思想空前繁荣的时代诞生的墨家的经典《墨子》中就有了逻辑推理的萌芽。然而,这一萌芽并未能成长,其原因需要从中国的自然环境及社会文化背景进行分析。
中国的自然环境是相对封闭的。中国的东面和南面是浩瀚的大洋,西面是高耸的青藏高原,北面是千里翰海,均是难以逾越的地障。这一自然环境所形成的农耕社会以及传统的农耕文化,产生了经世致用的实用主义的哲学思想,中国古代数学思想也不例外。随着儒家思想的一统天下,就更加深了这一思想的统治力。笔者一直认为“罢黜百家,独尊儒术”带来的是对创造力的扼杀,它的贻害是长远的,尤其是在科学方面。在儒家的思想体系中,是没有数学乃至科学的地位的。如前所述,数学(也许称为算学更恰当)在中国古代只是被当作“六艺”之一(且位居“六艺”之末),是登不得大雅之堂的。到了宋代兴起的“朱程理学”,提倡“述而不作”,那就更加禁锢了人们的思想。反映在数学上,则表现为古代的数学专著大多仿《九章算术》的体例成为一本本“习题集”。虽然刘徽明显有了推理和论证的意识,也注意到了逻辑推理的重要性,然而他的这种思想并没有得到后来者的重视,即使是在古代数学高度发达的宋元时代也是如此。因此,中国古代社会形成了一种远离和鄙视自然科学的氛围,使得知识分子远离自然科学,只埋头于四书五经之中而不能自拔。这种全社会对数学的忽视,是造成中国古代数学不能进一步深入发展的主要原因。
但儒家学说本身却是一个演绎系统的思想。这可以从儒家考据学派的治学方法中得到证实。考据学派重实证,讲究逻辑推理,崇尚“严谨治学”,这与以古希腊为代表的西方数学要求严密推理的做法相吻合。但中国古代数学却未能走上理性思辩和逻辑演绎推理之路,这从另一个方面说明儒家文化中没有数学的地位,而且这种封闭的思想系统,不会鼓励创新,只会扼杀一切创造,包括数学上的创造。由此可见,只有改革开放,融入世界潮流,才能有出路。
其次需要反思的是中国古代数学为什么未能采用符号系统。与文字语言相比,符号语言的最大优点在于它可以避免歧义性,这对数学来说是十分重要的。然而,中国古代数学却始终没有使用符号系统,甚至在到了清末翻译过来的一些数学教科书上,仍然用汉字代替符号。其中原因主要有以下几点:一方面是中国文字的因素。汉字是象形文字,适合于形象思维,然而数学需要的却是抽象思维,需要抛开事物的质的规定性而研究数量关系。因此,在表示抽象意义上的量的时候,比起西方的字母文字,汉字就显得极为不便。而一套适当的符号系统对数学来说实在是太重要了。另一方面,由于中国处在一个相对封闭的环境之中,中国人一直以天朝大国自居,特别是闭关锁国后,对外来的新生事物有一种与生具来的鄙视和排斥心理,总认为自己的是最好的。因此,这也是中国古代数学未能走上抽象化之路的原因之一。这再一次说明,“改革开放”对一个国家、一个民族的兴旺发达有多么的重要。对于外来的先进的科技、文化,我们必须放下架子,采用扬弃的态度,汲取其精华,为我所用,这样才能跟上世界发展的潮流。
第三需要反思的是以算筹为代表的计算工具对中国古代数学发展的影响。筹算是中国古代数学的一大特色,中国古代数学主要是以算筹为工具发展起来的。筹算主要关心的是计算,逻辑推理证明则处于次要地位,难以用其进行抽象数学所必须的逻辑论证。算筹之后所出现的算盘,虽然是计算机出现以前最为先进的计算工具之一(这一点有人至今仍在津津乐道),但它对数学的发展起的负面作用大于正面作用。算盘是高度商业化的产物,尽管它使得计算更加技巧化、程序化,大大提高了计算的效率(主要是加减乘除),但它也使得人们对数学的理解流于表面化。因此,算筹(算盘)虽然是十分实用的计算工具,它在对中国古代实用数学、功利数学的发展起了很大的作用的同时,也对中国古代数学向抽象化、理性化方向发展起了严重的阻碍作用。
另外,由于中国古代长期处于封建社会,社会生产力迟迟得不到发展,这也是中国古代数学从辉煌走向衰落的原因。因为社会生产力发展水平不高,社会上对数学乃至科学的需求就不高,数学的发展就缺少了外部的推动力,自然,关心和研究数学的人就少了。再加上以上因素,可以说,中国古代数学的衰落是必然的,不可避免的。
反思古希腊和中国古代数学的发展历程,还有一个现象值得注意。追求理性的古希腊人被追求实用的罗马人所征服,古希腊数学也遭到了灭顶之灾,欧洲也进入了黑暗的中世纪。这是实用主义打败了理性主义。而同一时期在东方,以计算为代表的实用数学则兴旺发达,达到顶峰。而后,随着欧洲的文艺复兴,古希腊的理性数学重又占据了优势,在近代数学中几乎找不到中国人的身影。然而,随着计算机的普及,以算法为核心的机器证明又取得了长足的进步,成功地解决了许多世界性的数学难题。这是否可以说明,数学的发展是一种以算法为代表的实用数学和以演绎为代表的理性数学交替繁荣的螺旋式的上升过程呢。
古希腊和中国古代数学的发展历史留给后人的思考和启示是很多的。以上为笔者的一些粗浅的看法,希望大家不吝指正。
参考文献
[1] 袁小明著.数学思想史导论,南宁:广西教育出版社,1991,129.
[2] 欧几里得著,利马窦,徐光启译.几何原本,丛书集成本,1939.
[3] 杨泰良著.数学思想史精读,南京师范大学数科院,2002,10.
[4] 张维忠著.数学 文化 与数学课程,上海教育出版社,1999,9.