摘要：针对高等代数课程的特点，分析教学中容易出现的几个问题，探讨解决这些问题的方法，为高等代数教学提供帮助，以提高学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，提高高等代数的教学质量．
关键词：高等代数 教学内容 教学方法
中图分类号：G652 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2011)06(c)-0000-00
1 引言
高等代数是大学数学类各专业的一门重要基础课，它所介绍的理论、方法广泛应用于各个学科与实际问题中。高等代数的内容不仅是学习后继课程不可缺少的基础知识，而且较多地体现着数学中严密的逻辑推理方法和计算方法，可以说，高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础。同时，高等代数在培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、科学计算能力诸方面，发挥着非常重要的作用，随着计算机技术的发展和应用，它已经成为提高学生数学素质和学习现代科学技术的重要基础理论课程。但由于高等代数课程理论严谨、概念多，内容抽象，思维方式独特，与原有的知识基础和思维习惯差距较大，而且一般的教材中，例题较少，所以一直使刚进校门的学生感到困难，在思考代数问题的过程中常常会出现一些自身不能意识到的逻辑错误，致使许多学生都始终不能领会代数学的核心内容和思想方法[1,2]。近年来，随着高等教育的大众化，特别是知识经济时代的到来，如何对高等代数课程及教学进行合理、有效的改革，以符合社会、经济发展的需要，已经成为数学教育工作者所广泛关注的一个问题。本文结合高等代数这门课程的特点，针对下面几个问题，剖析其原因并探讨解决的办法。
2 关于高等代数理论严密、观点抽象、不易接受的问题
这个问题是高等代数中的基本问题，从课程内容的表述到理论体系的构成都能反映这一问题，这是由高等代数课程的特点所决定的，其特点就是理论性强，抽象程度高，应用广泛，具体而言产生这一问题有以下几个原因。
（1）高等代数中大部分内容是概念性的、公理化方法叙述的。比如数环、数域、线性空间、线性变换、欧氏空间等。（2）大量数学符号的应用。用大量的抽象符号代替普通语言．虽然使表达变得简洁、准确，但也使初学者不容易接受。（3）讨论的对象不同于初等数学。讨论的对象已不是特定的实数或复数，而是非特定的任意元素集的系统，这些集合系统都规定了各自的运算法则，这些运算法则也就是集合系统的公理化，且二者研究处理的方法差别也较大。
要想解决这一问题，应做到以下几点：
（1）注意抽象思维的规律。讲课中要做到从特殊到一般，从具体上升到抽象，循序渐进。比如代数课中空间的概念，有 维向量空间、线性空间、欧氏空间等。在具体讲课时，就应从直观的二、三维几何空间开始，引入 维向量空间，这样从具体到抽象，再进一步抽象到一般的线性空间。由这一系列的逐步抽象，就便于发现它们之间的联系，也便于学生理解接受。（2）重视培养符号表达能力。从一开始，就尽量讲清符号表达的确切涵义，尽量规范地运用数学符号．不宜用普通语言去代替数学符号。熟练运用符号表达，这一点也可通过别的数学课程的符号表达来影响学生。（3）借助于直观的方法。直观的方法有利于帮助学生理解抽象的概念和理论，比如线性空间中有关基的概念，欧氏空间中正交变换的概念等都可先用几何直观的帮助，再来理解就较容易。另一个方法是图表法，比如二次型的分类，通过一个图表就直观地反映出各类二次型的特点。（4）通过比较教学法进行教学，比如关于多项式的整除及互素，可以通过比较整数的整除及互素去讲，就易于理解；再如同构。（5）列举大量实例．多角度理解，比如讲线性相关、线性无关，多举例子，特别是正反两方面的例子，就可搞清概念的准确定义；再比如线性空间，通过列举多个例子，理解定义中的两个运算，八条规则，并可看到线性空间的多样性，应用的广泛性。
3 关于概念、定理多，难以理解吃透的问题
要想解决这一问题，应做到以下几点：
l．讲解透彻、全面。每讲一个概念，既要抓住概念的内涵，又要正确理解概念的外延，抓住概念的内涵，有助于弄清楚概念的本质特征；正确理解概念的外延则有利于把握概念之间的相互联系[3]。对一些重要而基本的概念，都要讲清它们的准确含义，重点字句，应注意的地方，要求的条件，应用的范围等，并应适当通过例子加以说明。比如讲向量空间的定义，要注意到：(1) 集合 非空，(2) 中有称之为加法与数量乘法的两种运算；(3)运算要满足八条运算规律；这三条缺一不可，再举出正反两方面的例子说明。
2、在讲课时要做到，概念细讲，性质及结论讲完后应以练习为主。就是说．概念应由教师讲清讲透，以讲为主。而性质及结论，还是结台例题去讲效果好，并提出一些与相应的性质和结论联系紧密的例子让学生去讨论、去体会．从中加深对所学知识的理解和记忆。例如行列式的定义、性质等的讲解中就应做到以上这些。
3、注意联系，及时小结。数学的前后承接关系较紧密，所以要注意到相关概念、性质及结论之间的联系及区别。这就要求在讲课中及时归纳总结，尤其是低年级学生，由于他们的总结，归纳能力较差，所以要在适当时候适当内容给以小结，从中可看到相关内容的内在联系．也便于理解记忆 长此以往．可起一个潜移默化的作用，逐步带动学生学会归纳总结。例如线性变换与同构的联系与区别，线性无关——极大无关组——秩——矩阵的秩等的联系，通过总结加深理解，另处，习题课也是一个总结的好机会，通过综台性的例题综合运用已学的知识，从中发现问题，有针对性地解决问题。
当然除了以上几点外，要能真正解决学生不惧怕高等代数概念、定理多，不容易理解吃透的问题，，最为关键的是要不拘泥于课本，“用心教学”，将自己的学习和教学经验、学习和教学感悟都在讲课的过程中通过语言和行为传达给学生。用心教学意味着我们不仅要”教”学生，更要”教”自己；意味着付出比我们自己学习数学更多的精力；意味着要在每一堂课之前思考：
必须思考我们怎么讲学生才能对”枯燥”的”数学概念”感兴趣，觉得”概念”不仅是不枯燥的，而且是数学美学的集中体现，具有逻辑美、抽象美、直观美、简洁美、形象美，更有揭示自然世界规律的真理美。
必须思考从什么角度来切人数学概念?学生多疑必然多思，而多思必然多悟，所以如何更好地设置“疑问性、启发性”的课堂场景是我们作为教师的头脑第一要务。
必须思考我们怎么讲学生才能听得懂，对概念的理解不是似是而非，而是把握精确，并能够合理应用。
必须思考如何将数学的发展史融入到数学概念的讲解中，让学生了解”数学概念”是历史的，是动态的，是不断发展和完善的，可以促进学生用辩证的思想考虑问题，用更长远的眼光看待问题。
必须思考如何构造“概念性习题”，现有教材的习题中很少出现概念性的习题，使得学生在通过习题来深化“数学概念”方面明显不足。
4 关于内容头绪多，貌似联系较为松散的问题
高等代数课中内容涉及很广，这对于初学的人来说．确实是一个问题，他们总觉得内容头绪太多．理解、记忆较困难。要解决这一问题要做到以下几点。
1、上好高等代数的绪论课。在绪论课中要讲清整课程的体系、结构是什么；一本书或一个体系中到底哪些概念是关键性的，是牵动全局的，要研究哪些基本问题．一般认为，高等代数可分为多项式理论与线性代数两大部分．具体来讲：
(1)多项式理论以研究多项式的根的存在性及可解性开始的，整除性为贯穿内容始终的主线，由此展开研究最大公因式、因式分解等问题。(2)线性代数包括内容较广(一般应有行列式、线性方程组、矩阵、二次型、 -矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间等)．线性空间、线性变换和欧氏空间可认为是线性代数的几何理论，各章应以矩阵为主线贯穿起来(正如有的人认为矩阵相当于数学分析中的极限的地位。极限概念是贯穿于微积分的始终)。而线性变换是处理线性代数问题的主要手段，这样就能把这些头绪众多的知识联系起来．并提醒学生注意在各章中应充分利用矩阵这一工具。
2、讲清相关内容的联系．并通过综台性问题体现出来。
在具体讲到每一章节要注意以下三个方面：(1)问题的提出。讲清本章内容与以前所讲内容的联系、区别及特点；(2)解决处理问题的基本假定、基本思路和主要分析方法；(3)指出哪些地方最易忽视、混淆、出错。这样就有了层次，既有重点，又有系统性。尤为重要的是在综合性问题中，最能体现相关章节内容间的联系。例如关于实对称阵的相似对角化问题。一般解题步骤中就要用到:(1)求特征值(计算行列式)；(2)求特征向量(解线性方程组)；(3)正交、单位化(施密特正交化方法)；其意义就是在欧氏空间中找一组由对称阵的特征向量构成的标准正交基，(4)进一步地，由于每一个实对称阵可唯一决定一个二次型，这样对称阵相似对角化，相当于把一个实二次型通过正交线性替换化成标准形，而平方和的系数就是对称阵的全部特征值；(5)更进一步，(4)的结论可用到几何上化简直角坐标系下二次曲线(面)的方程以及讨论二次曲面的分类。因此在习题课上既要注重各章节的小结、联系、对比，还要多出些综台性强的例题。这些对于理清头绪，加深对所学知识的理解和记忆都有很大的好处。
5 关于解题无从下手的问题
代数中的题目解题方法灵活多变，技巧性高，没什么固定的模式，所以往往是内容听懂而解题总感到困难 要解决这一问题，要做到以下几点：
1、教会学生掌握通常的解题步骤(程序)，即常说的审题、习题类化，确定解题方案(联想、回忆) 实现解题方案。另一方面要让学生注意解题的完善，即解完题之后的继续研究与延伸。
2、掌握基本题一般方法。虽然高等代数中解题的方法比较灵活，技巧性也比较高，但很多基本问题的解题方法及思路还是有一定的规律的，比如，求多项式最大公因式的方法；行列式计算的一般方法；解线性方程组、求向量组极大线性无关组、求矩阵逆矩阵、求二次型标准型等的初等变换法[3,4]；求特征值和特征向量的方法；求标准正交基的正交化方法等，这些基本方法都是必须掌握和领会的。对一些无固定方法的问题，要善于从已知到未知中找到联系，逐步确定解题方案。例如，计算行列式用到的一些特殊方法，就需要对行列式仔细观察，找出规律。再比如要求向量空间的子空间的基，就需要从分析子空间的向量结构出发，抓住基线性表示空间每一个向量的基本属性出发，再证明找出的向量组线性无关，从而得到子空间的基，这样才易于下手。而要求两个空间的交与和的基，就要先清楚基的概念，空间的交与和的定义等 也即要寻找空间的基要有一些基础才行。
3、薄弱环节上突破—— 证明题。学生普遍感到较难做的问题是证明题，那么我们就应有针对性地多讲、多练这方面的问题，从中发现规律、总结经验： (1)常规证明。即一些显而易见的直接用某一方面的知识即可以去证明的问题，按定义去做即可，这一方法我们称之为“从定义出发”，这类问题很多，例如要证明一个向量组线性无关，一个方程组的一组解是基础解系，一组向量是极大无关的，空间的基等，只要大家多练多体会即可。 (2)分析性逻辑性比较强的证明。这需要分析问题所涉及到知识，主要看涉及到哪些定理，这些定理之间的联系怎样等，从中找到解决问题的切入点，从而完成问题的证明，这种方法我们称之为“从定理出发”。
4、要重视高等代数习题课的教学。习题课是数学教学必不可少的辅助环节．通常在教完某个章节后进行。一般内容分为知识要点和典型例题两部分。在知识要点这一块不能简单重复各章节的定义、定理。不但要复习知识要点，更重要的是揭示它们之间相辅相成的关系．以及定理条件的充要性。习题课上要精选典型例题，所选的例题涵盖的知识点要广泛，要有代表性和启发性．能够一题多解．在解决过程中加深对知识要点的理解．锻炼抽象思维能力和总结概括能力．提升计算技能。
5、重视学生的作业实践。(1)作业形式应避免单一化．在作业的安排过程中既要培养学生的严密的逻辑思维又要培养学生整体把握题目的的能力；(2)注意作业布置格局的合理性：作业的布置“软”“硬”结合，增加不同形式的作业，做到必做和选做的结合．必做题目是学习高等代数必须达到的目标和要求，是“硬”的任务；选做题目是有一定难度的题目，可以让学生根据自己的情况来选择，是“软”的任务.
6 关于高等代数课程的作用问题
高等代数的作用是非常重要的，而真正要让学生感受到却不太容易。部分学生往往把高等数学与初等数学分割开来，一方面认为高等数学对初等数学没有“指导作用”因而对高等数学的学习与研究重视不够；另一方面又对初等数学的探讨就事论事，观点不高。这也是部分学生学习积极性不高的一个重要原固。要解决这一问题，真正让学生认识高等代数的重要作用，需要做到以下几点。
1、强调高等代数既是数学类专业的一门重要基础课，也在其它学科课程中有广泛的应用。比如矩阵理论在微分方程、组合数学和一些工程技术问题中要用到 而行列式理论在数学分析、解析几何中都是重要工具。
2、强调高等代数课在培养学生能力上的重要作用。高等代数知识对建构知识体系和抽象思维、逻辑思维能力的形成起着重要的影响作用。由于高等代数知识的特点，学生在学习高等代数知识时，需要进行大量的逻辑思维能力、论证推理能力、符号表达能力、科学计算的能力方面的训练，例如数域包含了各种具体的数域，线性空间包含了通常的几何空间，这就是高度的抽象和概括的结果。因此，这些训练的结果直接导致学生能力素质的提高。
3、强调没有扎实的高等代数理论知识为基础，要想学好后续数学课程是不可能的。比如常微分方程、概率以及数值计算方法等的学习都需要一定的代数知识。
参考文献
[1] 李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究，2006，9(5)：6—9．
[2] 黎勇.高等代数课程教学改革的思考[J].教育与职业，2010（18），140-141.